補題：数式中で使う記号の定義

初期seedから日時を求める無謀な挑戦 - Plus Le Toolのための補題。
ＳＨＡ−１の計算過程では、32bit符号なし整数（uint型）の論理積，論理和，排他的論理和，論理否定，算術和，循環シフト，および代入の演算が必要になるので、それらの記号をここで定義しておく。

【1bit整数（bool型）の記号】

記号	意味	備考
$x,\,y,\,z,\,\dots$	1bit整数（bool型）	変数（主に）アルファベット小文字を使う
$0$	偽（FALSE）	定数
$1$	真（TRUE）	定数

$x\,\cap\,y$	論理積（AND）	強調したい場合を除き $xy$ のように略記する
$x\,\cup\,y$	論理和（OR）
$x\,\oplus\,y$	排他的論理和（XOR）
$\bar{x}$	論理否定（NOT）

$x\cdot y$	算術積	論理積ではないので注意 $xy$ のような略記はしない
$x+y$	算術和	論理和ではないので注意オーバーフローした上位bitは切り捨て

$=$	代入	等式の意味でも使うので注意

【32bit符号なし整数（uint型）の記号】

記号	意味	備考
$X,\,Y,\,Z,\,\dots$	32bit符号なし整数（uint型）	変数（主に）アルファベット大文字を使う

$X\,\cap\,Y$	論理積（AND）	積集合の意味でも使うので注意強調したい場合を除き $XY$ のように略記する
$X\,\cup\,Y$	論理和（OR）	和集合の意味でも使うので注意
$X\,\oplus\,Y$	排他的論理和（XOR）
$\bar{X}$	論理否定（NOT）	補集合の意味でも使うので注意
$X\,\underset{c}{<<}\,n$	左循環シフト	cは"circular shift"の略
$X\,\underset{c}{>>}\,n$	右循環シフト	cは"circular shift"の略

$X\cdot Y$	算術積	論理積ではないので注意 $XY$ のような略記はしないオーバーフローした上位bitは切り捨て
$X+Y$	算術和	論理和ではないので注意オーバーフローした上位bitは切り捨て

$=$	代入	等式の意味でも使うので注意

【その他の定義】

論理積

$\bigcap_{i=0}^{n}x_{i}=x_{0}\,\cap\,x_{1}\,\cap\,\dots\,\cap\,x_{n}\left(=x_{0}x_{1}\dots x_{n}\right)\\\bigcap_{i=0}^{n}X_{i}=X_{0}\,\cap\,X_{1}\,\cap\,\dots\,\cap\,X_{n}\left(=X_{0}X_{1}\dots X_{n}\right)$

論理和

$\bigcup_{i=0}^{n}x_{i}=x_{0}\,\cup\,x_{1}\,\cup\,\dots\,\cup\,x_{n}\\\bigcup_{i=0}^{n}X_{i}=X_{0}\,\cup\,X_{1}\,\cup\,\dots\,\cup\,X_{n}$

排他的論理和

$\bigoplus_{i=0}^{n}x_{i}=x_{0}\,\oplus\,x_{1}\,\oplus\,\dots\,\oplus\,x_{n}\\\bigoplus_{i=0}^{n}X_{i}=X_{0}\,\oplus\,X_{1}\,\oplus\,\dots\,\oplus\,X_{n}$

算術積

$\prod_{i=0}^{n}x_{i}=x_{0}\cdot x_{1}\cdot\,\dots\,\cdot x_{n}\\\prod_{i=0}^{n}X_{i}=X_{0}\cdot X_{1}\cdot\,\dots\,\cdot X_{n}$

算術和

$\sum_{i=0}^{n}x_{i}=x_{0}+x_{1}+\,\dots\,+x_{n}\\\sum_{i=0}^{n}X_{i}=X_{0}+X_{1}+\,\dots\,+X_{n}$

bool型変数を使った二進数表示

$X=\left(x_{31}x_{30}\dots x_{0}\right)_{2}\\X=\left(x_{32}x_{31}\dots x_{1}\right)_{2}$
（※最下位bitを $x_{0}$ から数えるか $x_{1}$ から数えるかは気まぐれなので注意。……いや統一しろよ、俺orz）

扱う数の集合

$\mathbb{B}=\left\{0,\,1\right\}$

定義文

$y\overset{\mathrm{def}}{=}f\left(x\right)$
（新しい変数（この場合 $y$ ）を定義する際に使う）

合同式

$y\equiv x\;\;\pmod{M}$
（法を $M$ とする合同式）

剰余算

$y= x\bmod{M}$
（ $x$ を $M$ で割った余り（ $0$ 以上 $M-1$ 以下）が $y$ である）