補題：新しい関数“Ｃr（Ω）”を定義する　定理（＊Ｃ）の証明

補題：新しい関数“Ｃr（Ω）”を定義する - Plus Le Toolの定理（＊Ｃ）の証明。

今まで証明がなかったものをさきさんが証明してくれました。ありがとうございます！
この記事ではさきさんの証明を参考にしつつ、しかし同じこと書いても２番煎じなので別路線で証明してみた。

[id:plusletool:20130612:p1]（＊Ｃ）再掲
$0\le r_{1}\in\mathbb{Z}$ ， $0\le r_{2}\in\mathbb{Z}$ のとき、次の式が成り立つ。

$\mathfrak{C}_{r_{1}}\left(\Omega\right)\mathfrak{C}_{r_{2}}\left(\Omega\right)=\mathfrak{C}_{r_{1}\cup r_{2}}\left(\Omega\right)$

【証明】
$\Omega=\left\{\omega_{1}\,,\,\omega_{2}\,,\,\dots\,,\,\omega_{n}\right\}$ とする。
$r_{1}=0$ または [tex:n

$\mathfrak{C}_{r_{1}}\left(\Omega\right)$ の項のみから来た因子（ $k-r_{2}$ 個）
$\mathfrak{C}_{r_{2}}\left(\Omega\right)$ の項のみから来た因子（ $k-r_{1}$ 個）
$\mathfrak{C}_{r_{1}}\left(\Omega\right)$ ， $\mathfrak{C}_{r_{2}}\left(\Omega\right)$ の両方の項から来た因子（ $r_{1}+r_{2}-k$ 個）

$k$ 個の因子のうち、どれがどの項から来た因子かの組み合わせの数だけ、 $\omega_{i_{1}}\omega_{i_{2}}\dots\omega_{i_{k}}$ が計算過程で現れるはずだ。
その回数を $a_{k}$ とすると、 $a_{k}\,\bmod{2}$ が $\omega_{i_{1}}\omega_{i_{2}}\dots\omega_{i_{k}}$ の係数 $a_{k}'$ になる。

さて、 $\omega_{i_{1}}\omega_{i_{2}}\dots\omega_{i_{k}}$ の係数 $a_{k}'\,\left(=a_{k}\,\bmod{2}\right)$ を求めるために、まず $a_{k}$ について考える。
$k$ 個の因子 $\omega_{i_{1}}$ ， $\omega_{i_{2}}$ ，……， $\omega_{i_{k}}$ のうち、 $r_{1}$ 個が $\mathfrak{C}_{r_{1}}\left(\Omega\right)$ の項から来た因子である。 $k$ 個の因子から $r_{1}$ 個を選ぶ組み合わせは ${}_{k}C{}_{r_{1}}$ 通り。
この $r_{1}$ 個の因子のうち、 $k-r_{2}$ 個が $\mathfrak{C}_{r_{1}}\left(\Omega\right)$ の項のみから来た因子である。 $r_{1}$ 個の因子から $k-r_{2}$ 個を選ぶ組み合わせは ${}_{r_{1}}C{}_{k-r_{2}}$ 通り。
よってその組み合わせの総数 $a_{k}$ は、

（＊１）
$\begin{eqnarray}a_{k}&=&{}_{k}C{}_{r_{1}}\,\cdot\,{}_{r_{1}}C{}_{k-r_{2}}\\&=&\frac{k!}{\,r_{1}!\,\cdot\,\left(k-r_{1}\right)!\,}\,\cdot\,\frac{r_{1}!}{\,\left(k-r_{2}\right)!\,\cdot\,\left(r_{1}+r_{2}-k\right)!\,}\\&=&\frac{k!}{\,\left(k-r_{1}\right)!\,\cdot\,\left(k-r_{2}\right)!\,\cdot\,\left(r_{1}+r_{2}-k\right)!\,}\end{eqnarray}$

（※これがさきさんの書いた（＊）式である。）
（＊１）より、係数 $a_{k}$ は $i_{1}\,,\,i_{2}\,,\,\dots\,,\,i_{k}$ の選び方に依存せず、因子数 $k$ のみによって決まる値であることが分かる。
言い換えると、 $\Omega$ から一定数の因子を選んで論理積した項の係数は、因子をどのような組み合わせで選んでも $a_{k}'\,\left(=a_{k}\,\bmod{2}\right)$ になる、ということだ。
そしてすべての「因子の選び方の組み合わせ」について排他的論理和したものとは、まさに $\mathfrak{C}_{k}\left(\Omega\right)$ に他ならない（∵ $\mathfrak{C}$ の定義より）。
よって（＊Ｃ）の左辺は次のように展開できる。

（＊Ｃ）再掲
$\mathfrak{C}_{r_{1}}\left(\Omega\right)\mathfrak{C}_{r_{2}}\left(\Omega\right)=\mathfrak{C}_{r_{1}\cup r_{2}}\left(\Omega\right)$

（＊２）
$\begin{array}{lclcl}\mathfrak{C}_{r_{1}}\left(\Omega\right)\,\cap\,\mathfrak{C}_{r_{2}}\left(\Omega\right)&=&\bigoplus_{k=\max\left(r_{1}\,,\,r_{2}\right)}^{\min\left(r_{1}+r_{2}\,,\,n\right)}a_{k}'\,\cdot\,\mathfrak{C}_{k}\left(\Omega\right)&=&a_{\max\left(r_{1}\,,\,r_{2}\right)}'\,\cdot\,\mathfrak{C}_{\max\left(r_{1}\,,\,r_{2}\right)}\left(\Omega\right)\\&&&\vdots&\\&&&\oplus&a_{r_{1}\cup r_{2}}'\,\cdot\,\mathfrak{C}_{r_{1}\cup r_{2}}\left(\Omega\right)\\&&&\vdots&\\&&&\oplus&a_{\min\left(r_{1}+r_{2}\,,\,n\right)}'\,\cdot\,\mathfrak{C}_{\min\left(r_{1}+r_{2}\,,\,n\right)}\left(\Omega\right)\end{array}$

よって命題（＊Ｃ）が成り立つための必要十分条件は、次式が成り立つことである。

（＊３）
$\begin{eqnarray}\mathfrak{C}_{r_{1}\cup r_{2}}\left(\Omega\right)&=&a_{\max\left(r_{1}\,,\,r_{2}\right)}'\,\cdot\,\mathfrak{C}_{\max\left(r_{1}\,,\,r_{2}\right)}\left(\Omega\right)\\&\vdots&\\&\oplus&a_{r_{1}\cup r_{2}}'\,\cdot\,\mathfrak{C}_{r_{1}\cup r_{2}}\left(\Omega\right)\\&\vdots&\\&\oplus&a_{\min\left(r_{1}+r_{2}\,,\,n\right)}'\,\cdot\,\mathfrak{C}_{\min\left(r_{1}+r_{2}\,,\,n\right)}\left(\Omega\right)\end{eqnarray}$

両辺の係数を辺々比較して、

（＊４）
$a_{k}'=\left\{\begin{array}{lcl}0&\;&\left(\,\mathrm{as}\,k\ne r_{1}\cup r_{2}\,\right)\\1&\;&\left(\,\mathrm{as}\,k=r_{1}\cup r_{2}\,\right)\end{array}\right.$

$a_{k}'\,\left(=a_{k}\,\bmod{2}\right)$ より、（＊４）は（＊５）と同値である。

（＊５）
「『 $a_{k}$ が奇数』⇔『 $k=r_{1}\cup r_{2}$ 』」

これが命題（＊Ｃ）が成り立つための必要十分条件である。
以下、 $a_{k}\;\left(\,=\frac{k!}{\,\left(k-r_{1}\right)!\,\cdot\,\left(k-r_{2}\right)!\,\cdot\,\left(r_{1}+r_{2}-k\right)!\,}\,\right)$ が奇数になる条件を調べる。

ここで定義を１つと補題をいくつか。
（※定義や補題の中で使う文字は、外で使われている文字とは無関係なことに注意。）

（＊６） $L_{p}\left(N\right)$ の定義
自然数 $N$ について、 $N$ を素因数分解すると

$N=N'\,\cdot\,p^{k}$
ただし、 $N'\,\not\equiv\,0\;\pmod{p}$

と表せるとき、整数 $k$ を「 $N$ の“ $p$ の指数”」と言い、 $L_{p}\left(N\right)$ で表す。
【例】
$L_{2}\left(1\right)=0$ ， $L_{2}\left(2\right)=1$ ， $L_{2}\left(4\right)=2$ ， $L_{2}\left(256\right)=8$ ， $L_{2}\left(4000\right)=5$ ， $L_{5}\left(4000\right)=3$
Ｑ．なんで $L$ なの？
Ａ．なんか $\log$ っぽいじゃん？

（＊７）補題の補題の補題の補題の補題・その１
自然数 $n$ ，整数 $k$ ，素数 $p$ について、 $n\equiv 0\;\pmod{p^{k}}$ ， $n\not\equiv 0\;\pmod{p^{k+1}}$ のとき、次式が成り立つ。

$L_{p}\left(n\right)=L_{p}\left(p^{k}\right)=k$

【簡易証明】
$n\equiv 0\;\pmod{p^{k}}$ より、 $n$ は自然数 $m$ を使って $n=m\,\cdot\,p^{k}$ と表せる。
このとき $n\not\equiv 0\;\pmod{p^{k+1}}$ より $m\not\equiv 0\;\pmod{p}$ なので、式 $n=m\,\cdot\,p^{k}$ は $n$ の素因数分解を表している。
よって $L_{p}$ の定義より $L_{p}\left(n\right)=L_{p}\left(p^{k}\right)=k$ となり、題意成立。

（＊８）補題の補題の補題の補題の補題・その２
自然数 $n$ ，整数 $k$ ，素数 $p$ について、 $n>p^{k}$ ， $n\not\equiv 0\;\pmod{p^{k}}$ のとき、次式が成り立つ。

[tex:L_{p}\left(n\right)=L_{p}\left(n-p^{k}\right)

【簡易証明】
$n\not\equiv 0\;\pmod{p^{k}}$ より $n$ はたかだか $k-1$ 回しか $p$ で割り切れないので、 $n=n'\,\cdot\,p^{N}$ （ $n'\not\equiv 0\;\pmod{p}$ ）と素因数分解できるとすると、 [tex:N

（＊９）補題の補題の補題の補題・その１
自然数 $n$ ，整数 $k$ ，素数 $p$ について、 $n\not\equiv 0\;\pmod{p^{k+1}}$ のとき、次式が成り立つ。

$L_{p}\left(n\right)=L_{p}\left(n\underline{\bmod{p^{k}}}\right)\le k$
（※ $\bmod{M}$ の値域は通常は「０以上 $M-1$ 以下」だが、ここでは「１以上 $M$ 以下」とする。通常の $\bmod$ と区別するために下線を引いた。）

なお、等号成立条件は $n\equiv 0\;\pmod{p^{k}}$ である。
【簡易証明】
（＊７）（＊８）を繰り返し適用すればよい。

（＊10）補題の補題の補題の補題・その２
自然数 $x\,,\,y$ ，素数 $p$ について、次式が成り立つ。

$L_{p}\left(x\,\cdot\,y\right)=L_{p}\left(x\right)\,+\,L_{p}\left(y\right)$

【簡易証明】
$L_{p}$ の定義より明らか。

（＊11）補題の補題の補題・その１
自然数 $n$ ，整数 $k$ ，素数 $p$ について、 $n\not\equiv 0\;\pmod{p^{k+1}}$ のとき、次式が成り立つ。

$L_{p}\left({}_{n}P{}_{p^{k}}\right)=L_{p}\left(p^{k}!\right)$

【簡易証明】
$n'\overset{\mathrm{def}}{=}n\underline{\bmod{p^{k}}}$ とおくと、

$\begin{array}{lclclclclclclclcl}X&\overset{\mathrm{def}}{=}&\left(n\underline{\bmod{p^{k}}}\right)&\cdot&\left(\left(n-1\right)\underline{\bmod{p^{k}}}\right)&\cdot&\dots&\cdot&\left(\left(p^{k}+1\right)\underline{\bmod{p^{k}}}\right)&\cdot&\left(p^{k}\underline{\bmod{p^{k}}}\right)&\cdot&\left(\left(p^{k}-1\right)\underline{\bmod{p^{k}}}\right)&\cdot&\dots&\cdot&\left(\left(n-p^{k}+1\right)\underline{\bmod{p^{k}}}\right)\\&=&n'&\cdot&\left(n'-1\right)&\cdot&\dots&\cdot&1&\cdot&p^{k}&\cdot&\left(p^{k}-1\right)&\cdot&\dots&\cdot&\left(n'+1\right)\\&=&p^{k}!\end{eqnarray}$

よって（＊９）より $L_{p}\left({}_{n}P{}_{p^{k}}\right)=L_{p}\left(n\,\cdot\,\left(n-1\right)\,\cdot\,\dots\,\cdot\,\left(n-p^{k}+1\right)\right)=L_{p}\left(X\right)$ となるので、題意成立。

（＊12）補題の補題の補題・その２
自然数 $n\,,\,m$ ，整数 $k$ ，素数 $p$ について、 $n\equiv 0\;\pmod{p^{k+m}}$ ， $n\not\equiv 0\;\pmod{p^{k+m+1}}$ のとき、次式が成り立つ。

$L_{p}\left({}_{n}P{}_{p^{k}}\right)=L_{p}\left(p^{k}!\right)\,+\,m$

【簡易証明】
（＊10）より $L_{p}\left({}_{n}P{}_{p^{k}}\right)=L_{p}\left(n\,\cdot\,{}_{n-1}P{}_{p^{k}-1}\right)=L_{p}\left(n\right)\,+\,L_{p}\left({}_{n-1}P{}_{p^{k}-1}\right)$ である。
（＊７）より $L_{p}\left(n\right)=k+m$ であり、また同じく（＊７）より $L_{p}\left(n-p^{k}\right)=k$ なので、これと（＊10）（＊11）を使うと、

$\begin{eqnarray}L_{p}\left({}_{n}P{}_{p^{k}}\right)&=&L_{p}\left(n\right)\,+\,L_{p}\left({}_{n-1}P{}_{p^{k}-1}\right)\\&=&L_{p}\left(n-p^{k}\right)\,+\,m\,+\,L_{p}\left({}_{n-1}P{}_{p^{k}-1}\right)\\&=&L_{p}\left(\left(n-p^{k}\right)\,\cdot\,{}_{n-1}P{}_{p^{k}-1}\right)\,+\,m\\&=&L_{p}\left({}_{n-1}P{}_{p^{k}}\right)\,+\,m\\&=&L_{p}\left(p^{k}!\right)\,+\,m\end{eqnarray}$

となるので、題意成立。

（＊13）補題の補題
自然数 $n$ ，整数 $k$ ，素数 $p$ について、次式が成り立つ。

$L_{p}\left({}_{n}P{}_{p^{k}}\right)\ge L_{p}\left(p^{k}!\right)$

なお、等号成立条件は $n\not\equiv 0\;\pmod{p^{k+1}}$ である。
【簡易証明】
（＊11）（＊12）より明らか。

（＊14）補題・その１
素数 $p$ ，０以上の整数 $\alpha_{1}\,,\,\alpha_{2}\,,\,\dots\,,\,\alpha_{j}$ について、次式が成り立つ。

$L_{p}\left(\left(\,p^{\alpha_{1}}\,+\,p^{\alpha_{2}}\,+\,\dots\,+\,p^{\alpha_{j}}\,\right)!\right)\ge L_{p}\left(p^{\alpha_{1}}!\right)\,+\,L_{p}\left(p^{\alpha_{2}}!\right)\,+\,\dots\,+\,L_{p}\left(p^{\alpha_{j}}!\right)$

なお、等号成立条件は「０以上の任意の整数 $A$ について、 $\alpha_{J}=A$ を満たす $J\;\left(1\le J\le j\right)$ が $p$ 個以上存在しないこと…（※１）」である。
【簡易証明】
$\left(\,p^{\alpha_{1}}\,+\,p^{\alpha_{2}}\,+\,\dots\,+\,p^{\alpha_{j}}\,\right)!=\prod_{l=1}^{j}{}_{p^{\alpha_{1}}+p^{\alpha_{2}}+\dots+p^{\alpha_{l}}}P{}_{p^{\alpha_{l}}}$ と変形できるので、（＊10）より、

$\begin{eqnarray}L_{p}\left(\left(\,p^{\alpha_{1}}\,+\,p^{\alpha_{2}}\,+\,\dots\,+\,p^{\alpha_{j}}\,\right)!\right)&=&L_{p}\left(\prod_{l=1}^{j}{}_{p^{\alpha_{1}}+p^{\alpha_{2}}+\dots+p^{\alpha_{l}}}P{}_{p^{\alpha_{l}}}\right)\\&=&L_{p}\left({}_{p^{\alpha_{1}}}P{}_{p^{\alpha_{1}}}\,\cdot\,{}_{p^{\alpha_{1}}+p^{\alpha_{2}}}P{}_{p^{\alpha_{2}}}\,\cdot\,\dots\,\cdot\,{}_{p^{\alpha_{1}}+p^{\alpha_{2}}+\dots+p^{\alpha_{j}}}P{}_{p^{\alpha_{j}}}\right)\\&=&L_{p}\left({}_{p^{\alpha_{1}}}P{}_{p^{\alpha_{1}}}\right)\,+\,L_{p}\left({}_{p^{\alpha_{1}}+p^{\alpha_{2}}}P{}_{p^{\alpha_{2}}}\right)\,+\,\dots\,+\,L_{p}\left({}_{p^{\alpha_{1}}+p^{\alpha_{2}}+\dots+p^{\alpha_{j}}}P{}_{p^{\alpha_{j}}}\right)\end{eqnarray}$

ここで ${}_{p^{\alpha_{1}}+p^{\alpha_{2}}+\dots+p^{\alpha_{l}}}P{}_{p^{\alpha_{l}}}$ について、 $n=p^{\alpha_{1}}+p^{\alpha_{2}}+\dots+p^{\alpha_{l}}$ ， $k=\alpha_{l}$ とすれば（＊13）を適用できて、

$L_{p}\left(\left(\,p^{\alpha_{1}}\,+\,p^{\alpha_{2}}\,+\,\dots\,+\,p^{\alpha_{j}}\,\right)!\right)\ge L_{p}\left(p^{\alpha_{1}}!\right)\,+\,L_{p}\left(p^{\alpha_{2}}!\right)\,+\,\dots\,+\,L_{p}\left(p^{\alpha_{j}}!\right)$
（※等号成立条件は「すべての $l\;\left(1\le l\le j\right)$ について $p^{\alpha_{1}}+p^{\alpha_{2}}+\dots+p^{\alpha_{l}}\not\equiv 0\;\pmod{p^{\alpha_{l}+1}}$ が成り立つこと…（※２）」）

よって、ひとまず等号成立条件を無視すれば、与式は成り立つ。
いま、条件（※１）満たすとき、 $0\le\alpha_{1}\le\alpha_{2}\le\dots\le\alpha_{j}$ のように $\alpha_{*}$ の添字を選んでおけば（※そう選んでも一般性を失わない）、 [tex:0

（＊15）補題・その２
素数 $p$ ，０以上の相異なる整数 $\alpha_{1}\,,\,\alpha_{2}\,,\,\dots\,,\,\alpha_{j}$ について、次式が成り立つ。

$L_{p}\left(\left(\,p^{\alpha_{1}}\,+\,p^{\alpha_{2}}\,+\,\dots\,+\,p^{\alpha_{j}}\,\right)!\right)=L_{p}\left(p^{\alpha_{1}}!\right)\,+\,L_{p}\left(p^{\alpha_{2}}!\right)\,+\,\dots\,+\,L_{p}\left(p^{\alpha_{j}}!\right)$

【簡易証明】
（＊14）より明らか。

（＊16）補題・その３
０以上の整数 $k$ ，素数 $p$ について、次式が成り立つ。

$L_{p}\left(p^{k}!\right)=\sum_{i=0}^{k-1}p^{i}$

【簡易証明】
（ｉ） $k=0$ のとき、
$p^{k}!=p^{0}!=1!=1$ より、 $L_{p}\left(p^{k}!\right)=L_{p}\left(1\right)=0$ となり、与式は成り立つ。
（ii） $k=K$ のとき与式が成り立つと仮定する。
$p^{K+1}!=\prod_{l=1}^{p}{}_{l\,\cdot\,p^{K}}P{}_{p^{K}}$ と変形できるので、（＊10）（＊11）（＊12）より、

$\begin{eqnarray}L_{p}\left(p^{K+1}!\right)&=&L_{p}\left(\prod_{l=1}^{p}{}_{l\,\cdot\,p^{K}}P{}_{p^{K}}\right)\\&=&L_{p}\left({}_{p^{K}}P{}_{p^{K}}\,\cdot\,{}_{2\,\cdot\,p^{K}}P{}_{p^{K}}\,\cdot\,\dots\,\cdot\,{}_{\left(p-1\right)\,\cdot\,p^{K}}P{}_{p^{K}}\,\cdot\,{}_{p^{K+1}}P{}_{p^{K}}\right)\\&=&L_{p}\left({}_{p^{K}}P{}_{p^{K}}\right)\,+\,L_{p}\left({}_{2\,\cdot\,p^{K}}P{}_{p^{K}}\right)\,+\,\dots\,+\,L_{p}\left({}_{\left(p-1\right)\,\cdot\,p^{K}}P{}_{p^{K}}\right)\,+\,L_{p}\left({}_{p^{K+1}}P{}_{p^{K}}\right)\\&=&L_{p}\left(p^{K}!\right)\,+\,L_{p}\left(p^{K}!\right)\,+\,\dots\,+\,L_{p}\left(p^{K}!\right)\,+\,\left(L_{p}\left(p^{K}!\right)\,+\,1\right)\\&=&1\,+\,p\,\cdot\,L_{p}\left(p^{K}!\right)\end{eqnarray}$

よって仮定より $L_{p}\left(p^{K+1}!\right)=1\,+\,p\,\cdot\,\sum_{i=0}^{K-1}p^{i}=\sum_{i=0}^{K}p^{i}$ となり、 $k=K+1$ のときも与式は成り立つ。
以上（ｉ）（ii）より、任意の０以上の整数 $k$ について与式は成り立つ。

さて本題に戻って、 $a_{k}\;\left(\,=\frac{k!}{\,\left(k-r_{1}\right)!\,\cdot\,\left(k-r_{2}\right)!\,\cdot\,\left(r_{1}+r_{2}-k\right)!\,}\,\right)$ が奇数になる条件を調べる。
$a_{k}$ の偶奇を調べるには、 $L_{2}\left(k!\right)$ と $L_{2}\left(\left(k-r_{1}\right)!\,\cdot\,\left(k-r_{2}\right)!\,\cdot\,\left(r_{1}+r_{2}-k\right)!\right)$ の大小関係を調べればいい。
このとき、（＊１）「 $a_{k}={}_{k}C{}_{r_{1}}\,\cdot\,{}_{r_{1}}C{}_{k-r_{2}}$ 」より $a_{k}$ は自然数なので、 [tex:L_{2}\left(k!\right)

（＊10）再掲
$L_{p}\left(x\,\cdot\,y\right)=L_{p}\left(x\right)\,+\,L_{p}\left(y\right)$

よって『 $a_{k}$ が奇数』と『 $L_{2}\left(k!\right)=L_{2}\left(\left(k-r_{1}\right)!\right)\,+\,L_{2}\left(\left(k-r_{2}\right)!\right)\,+\,L_{2}\left(\left(r_{1}+r_{2}-k\right)!\right)$ 』は同値である。

（＊17）
『 $a_{k}$ が奇数』⇔『 $L_{2}\left(k!\right)=L_{2}\left(\left(k-r_{1}\right)!\right)\,+\,L_{2}\left(\left(k-r_{2}\right)!\right)\,+\,L_{2}\left(\left(r_{1}+r_{2}-k\right)!\right)$ 』

次に、 $k-r_{1}$ ， $k-r_{2}$ ， $r_{1}+r_{2}-k$ ， $k$ をそれぞれ次のように二進展開する。

（＊18）
$\begin{array}{lclclclcl}k-r_{1}&=&2^{\alpha_{1}}&+&2^{\alpha_{2}}&+&\dots&+&2^{\alpha_{j_{1}}}\\k-r_{2}&=&2^{\beta_{1}}&+&2^{\beta_{2}}&+&\dots&+&2^{\beta_{j_{2}}}\\r_{1}+r_{2}-k&=&2^{\gamma_{1}}&+&2^{\gamma_{2}}&+&\dots&+&2^{\gamma_{j_{3}}}\\k&=&2^{\delta_{1}}&+&2^{\delta_{2}}&+&\dots&+&2^{\delta_{j_{4}}}\end{array}$
ただし $\alpha_{*}$ ， $\beta_{*}$ ， $\gamma_{*}$ ， $\delta_{*}$ は整数で、
$\begin{array}{lclclclcl}0&\le&\alpha_{1}&<&\alpha_{2}&<&\dots&<&\alpha_{j_{1}}\\0&\le&\beta_{1}&<&\beta_{2}&<&\dots&<&\beta_{j_{2}}\\0&\le&\gamma_{1}&<&\gamma_{2}&<&\dots&<&\gamma_{j_{3}}\\0&\le&\delta_{1}&<&\delta_{2}&<&\dots&<&\delta_{j_{4}}\end{array}$

すると、（＊15）より、（＊19）が成り立つ。

（＊15）再掲
素数 $p$ ，０以上の相異なる整数 $\alpha_{1}\,,\,\alpha_{2}\,,\,\dots\,,\,\alpha_{j}$ について、次式が成り立つ。

$L_{p}\left(\left(\,p^{\alpha_{1}}\,+\,p^{\alpha_{2}}\,+\,\dots\,+\,p^{\alpha_{j}}\,\right)!\right)=L_{p}\left(p^{\alpha_{1}}!\right)\,+\,L_{p}\left(p^{\alpha_{2}}!\right)\,+\,\dots\,+\,L_{p}\left(p^{\alpha_{j}}!\right)$

（＊19）
$\begin{array}{lclclclcl}L_{2}\left(\left(k-r_{1}\right)!\right)&=&L_{2}\left(2^{\alpha_{1}}!\right)&+&L_{2}\left(2^{\alpha_{2}}!\right)&+&\dots&+&L_{2}\left(2^{\alpha_{j_{1}}}!\right)\\L_{2}\left(\left(k-r_{2}\right)!\right)&=&L_{2}\left(2^{\beta_{1}}!\right)&+&L_{2}\left(2^{\beta_{2}}!\right)&+&\dots&+&L_{2}\left(2^{\beta_{j_{2}}}!\right)\\L_{2}\left(\left(r_{1}+r_{2}-k\right)!\right)&=&L_{2}\left(2^{\gamma_{1}}!\right)&+&L_{2}\left(2^{\gamma_{2}}!\right)&+&\dots&+&L_{2}\left(2^{\gamma_{j_{3}}}!\right)\\L_{2}\left(k!\right)&=&L_{2}\left(2^{\delta_{1}}!\right)&+&L_{2}\left(2^{\delta_{2}}!\right)&+&\dots&+&L_{2}\left(2^{\delta_{j_{4}}}!\right)\end{array}$

また $k=\left(k-r_{1}\right)\,+\,\left(k-r_{2}\right)\,+\,\left(r_{1}+r_{2}-k\right)$ なので、（＊18）より次式が成り立つ。

（＊20）
$\begin{array}{lclclclcl}2^{\delta_{1}}\,+\,2^{\delta_{2}}\,+\,\dots\,+\,2^{\delta_{j_{4}}}&=&2^{\alpha_{1}}&+&2^{\alpha_{2}}&+&\dots&+&2^{\alpha_{j_{1}}}\\&+&2^{\beta_{1}}&+&2^{\beta_{2}}&+&\dots&+&2^{\beta_{j_{2}}}\\&+&2^{\gamma_{1}}&+&2^{\gamma_{2}}&+&\dots&+&2^{\gamma_{j_{3}}}\end{array}$

ここで次のように場合分けする。

（Ｉ） $\left\{\,\alpha_{1}\,,\,\dots\,,\,\alpha_{j_{1}}\,,\,\beta_{1}\,,\,\dots\,,\,\beta_{j_{2}}\,,\,\gamma_{1}\,,\,\dots\,,\,\gamma_{j_{3}}\,\right\}=\left\{\,\delta_{1}\,,\,\dots\,,\,\delta_{j_{4}}\,\right\}$ の場合
このとき $\left\{\,L_{2}\left(\alpha_{1}\right)\,,\,\dots\,,\,L_{2}\left(\alpha_{j_{1}}\right)\,,\,L_{2}\left(\beta_{1}\right)\,,\,\dots\,,\,L_{2}\left(\beta_{j_{2}}\right)\,,\,L_{2}\left(\gamma_{1}\right)\,,\,\dots\,,\,L_{2}\left(\gamma_{j_{3}}\right)\,\right\}=\left\{\,L_{2}\left(\delta_{1}\right)\,,\,\dots\,,\,L_{2}\left(\delta_{j_{4}}\right)\,\right\}$ となる。
よって（＊19）より、次式が成り立つ。

（＊21）
$L_{2}\left(k!\right)=L_{2}\left(\left(k-r_{1}\right)!\right)\,+\,L_{2}\left(\left(k-r_{2}\right)!\right)\,+\,L_{2}\left(\left(r_{1}+r_{2}-k\right)!\right)$

（II） $\left\{\,\alpha_{1}\,,\,\dots\,,\,\alpha_{j_{1}}\,,\,\beta_{1}\,,\,\dots\,,\,\beta_{j_{2}}\,,\,\gamma_{1}\,,\,\dots\,,\,\gamma_{j_{3}}\,\right\}\ne\left\{\,\delta_{1}\,,\,\dots\,,\,\delta_{j_{4}}\,\right\}$ の場合
$k=2^{\delta_{1}}\,+\,2^{\delta_{2}}\,+\,\dots\,+\,2^{\delta_{j_{4}}}$ は $k$ の二進展開であり、二進展開は一意なので、次のことが言える。

（＊22）
$\alpha_{1}\,,\,\dots\,,\,\alpha_{j_{1}}\,,\,\beta_{1}\,,\,\dots\,,\,\beta_{j_{2}}\,,\,\gamma_{1}\,,\,\dots\,,\,\gamma_{j_{3}}$ の中に、同じ値が少なくとも１組以上存在する。

これと（＊18）（＊20）（＊14）（＊19）より、（＊23）が成り立つ。

（＊18）再掲
$k=2^{\delta_{1}}\,+\,2^{\delta_{2}}\,+\,\dots\,+\,2^{\delta_{j_{4}}}$
（＊20）再掲
$2^{\delta_{1}}\,+\,\dots\,+\,2^{\delta_{j_{4}}}=2^{\alpha_{1}}\,+\,\dots\,+\,2^{\alpha_{j_{1}}}\,+\,2^{\beta_{1}}\,+\,\dots\,+\,2^{\beta_{j_{2}}}\,+\,2^{\gamma_{1}}\,+\,\dots\,+\,2^{\gamma_{j_{3}}}$
（＊14）再掲
素数 $p$ ，０以上の整数 $\alpha_{1}\,,\,\alpha_{2}\,,\,\dots\,,\,\alpha_{j}$ について、次式が成り立つ。

$L_{p}\left(\left(\,p^{\alpha_{1}}\,+\,p^{\alpha_{2}}\,+\,\dots\,+\,p^{\alpha_{j}}\,\right)!\right)\ge L_{p}\left(p^{\alpha_{1}}!\right)\,+\,L_{p}\left(p^{\alpha_{2}}!\right)\,+\,\dots\,+\,L_{p}\left(p^{\alpha_{j}}!\right)$

等号成立条件は、「０以上の任意の整数 $A$ について、 $\alpha_{J}=A$ を満たす $J\;\left(1\le J\le j\right)$ が $p$ 個以上存在しない」こと。
（＊19）再掲
$\begin{array}{lclclclcl}L_{2}\left(\left(k-r_{1}\right)!\right)&=&L_{2}\left(2^{\alpha_{1}}!\right)&+&L_{2}\left(2^{\alpha_{2}}!\right)&+&\dots&+&L_{2}\left(2^{\alpha_{j_{1}}}!\right)\\L_{2}\left(\left(k-r_{2}\right)!\right)&=&L_{2}\left(2^{\beta_{1}}!\right)&+&L_{2}\left(2^{\beta_{2}}!\right)&+&\dots&+&L_{2}\left(2^{\beta_{j_{2}}}!\right)\\L_{2}\left(\left(r_{1}+r_{2}-k\right)!\right)&=&L_{2}\left(2^{\gamma_{1}}!\right)&+&L_{2}\left(2^{\gamma_{2}}!\right)&+&\dots&+&L_{2}\left(2^{\gamma_{j_{3}}}!\right)\end{array}$